[CFA Level 1] 포트폴리오 (22): 포트폴리오 리스크 계산하기 (공분산과 상관관계)

지금까지 우리는 리스크를 '표준편차'로 측정하고, 투자자의 성향에 따라 리스크를 다르게 받아들인다는 것을 배웠습니다. 이제 한 걸음 더 나아가, 여러 자산을 섞었을 때 포트폴리오의 전체 리스크가 어떻게 결정되는지 직접 계산해보는 시간입니다. Module 20.3 '포트폴리오 표준편차(Portfolio Standard Deviation)'에서는 분산투자의 마법이 어떤 수학적 원리로 일어나는지 구체적으로 살펴봅니다.

분산과 표준편차: 개별 자산의 리스크 측정

포트폴리오의 리스크를 알기 전에, 먼저 그 구성원인 개별 자산의 리스크부터 측정해야 합니다.

- 분산 (Variance, σ²): 수익률이 평균으로부터 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 지표입니다. 각 시점의 수익률과 평균 수익률의 차이(편차)를 제곱하여 평균 낸 값입니다.
- 표준편차 (Standard Deviation, σ): 분산에 제곱근을 씌운 값입니다. 분산은 단위가 '수익률의 제곱'이라 직관적인 해석이 어려운 반면, 표준편차는 원래 수익률과 단위가 같아 리스크를 이해하기에 훨씬 용이합니다.

공분산과 상관계수: 두 자산의 '관계' 측정

분산투자의 핵심은 두 자산이 함께 움직이는 '관계'에 있습니다. 이 관계를 측정하는 지표가 바로 공분산과 상관계수입니다.

- 공분산 (Covariance, Cov): 두 자산의 수익률이 같은 방향으로 움직이는 경향을 측정합니다.
    - 양수(+): 두 자산이 같은 방향으로 움직이는 경향이 있음 (A가 오를 때 B도 오르는 경향)
    - 음수(-): 두 자산이 반대 방향으로 움직이는 경향이 있음 (A가 오를 때 B는 내리는 경향)
    - 0: 두 자산 간에 선형적인 관계가 없음
- 상관계수 (Correlation Coefficient, ρ): 공분산을 각 자산의 표준편차로 나누어 표준화한 값입니다. 항상 -1과 +1 사이의 값을 가지므로 공분산보다 해석이 훨씬 쉽습니다. +1은 완벽한 양의 상관관계, -1은 완벽한 음의 상관관계를 의미하며, 분산투자 효과를 논할 때 가장 핵심적인 변수가 됩니다.

> 상관계수(ρ) = Cov(1,2) / (σ₁ * σ₂)

포트폴리오 리스크의 계산

이제 모든 준비가 끝났습니다. 두 개의 자산(A, B)으로 이루어진 포트폴리오의 전체 리스크(표준편차)는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

> σₚ² = wₐ²σₐ² + wₑ²σₑ² + 2wₐwₑCov(A,B)
> σₚ² = wₐ²σₐ² + wₑ²σₑ² + 2wₐwₑρ(A,B)σₐσₑ
> 
> (w: 투자 비중, σ²: 분산, σ: 표준편차, ρ: 상관계수)

이 공식에서 가장 중요한 부분은 마지막 항인 `2wₐwₑρ(A,B)σₐσₑ` 입니다. 바로 이 부분이 두 자산의 '관계'가 포트폴리오 전체 리스크에 미치는 영향을 나타냅니다. 상관계수(ρ)가 +1보다 작을수록 이 항의 값이 작아져 포트폴리오 전체의 분산(σₚ²)이 줄어드는, 즉 분산투자의 효과가 발생하는 것입니다. 만약 상관계수가 음수라면, 이 항 전체가 음수가 되어 리스크 감소 효과는 더욱 극대화됩니다.

핵심 용어 정리

영어	한글
Variance	분산
Standard Deviation	표준편차
Covariance	공분산
Correlation Coefficient	상관계수
Portfolio Standard Deviation	포트폴리오 표준편차

마치며

포트폴리오의 표준편차 공식은 분산투자의 효과가 단순한 격언이 아니라 수학적으로 증명되는 원리임을 보여줍니다. 각 자산의 리스크뿐만 아니라 자산 간의 '상관관계'를 이해하고 계산할 수 있을 때, 우리는 비로소 리스크를 효과적으로 관리하고 안정적인 포트폴리오를 구축하는 능력을 갖추게 됩니다.