CFA Level 1 - Reading 60: 수익률 기반 채권 볼록성 및 포트폴리오 속성

지난 포스트에서 듀레이션이 금리 변동에 따른 채권 가격의 변동을 예측하는 강력한 도구임을 배웠습니다. 하지만 듀레이션은 가격-수익률 관계를 직선으로 근사하기 때문에, 금리 변동폭이 클 경우 오차가 발생합니다. 이번에는 이 오차를 보정해주는 볼록성(Convexity)의 개념과 포트폴리오 전체의 듀레이션과 볼록성을 계산하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

볼록성 (Convexity) 이란?

채권의 가격-수익률 관계는 직선이 아닌 원점을 향해 볼록한(convex) 곡선 형태를 띱니다. 볼록성은 이 곡선이 얼마나 휘어져 있는지를 측정하는 지표입니다.

듀레이션만으로 예측한 가격은 실제 채권 가격보다 항상 낮게(또는 같게) 예측되는 오차를 가집니다. 볼록성은 이 오차를 보정하여 더 정확한 가격 변동 예측을 가능하게 합니다.

• 가격 변동률(%) ≈ [-듀레이션 × ΔYTM] + [0.5 × 볼록성 × (ΔYTM)²]

위 식에서 첫 번째 항은 듀레이션에 의한 1차 효과, 두 번째 항은 볼록성에 의한 2차 효과(볼록성 조정)를 의미합니다. 금리가 상승하든 하락하든, 볼록성 조정 항은 항상 양(+)의 값을 가지므로, 볼록성이 높은 채권은 투자자에게 항상 유리합니다.

• 금리 하락 시: 듀레이션 효과에 볼록성 효과가 더해져 가격 상승폭이 더 커집니다.
• 금리 상승 시: 듀레이션 효과에 따른 가격 하락폭을 볼록성 효과가 일부 상쇄시켜 주어 가격 하락폭이 더 작아집니다.

포트폴리오 듀레이션과 볼록성

여러 채권으로 구성된 포트폴리오 전체의 듀레이션과 볼록성은 어떻게 계산할까요? 가장 일반적인 방법은 포트폴리오에 포함된 개별 채권들의 듀레이션과 볼록성을 각각 구한 뒤, 포트폴리오 내 각 채권의 시장가치 비중을 가중치로 사용하여 가중평균하는 것입니다.

• 포트폴리오 듀레이션 = (W₁ × D₁) + (W₂ × D₂) + ... + (Wn × Dn)
• 포트폴리오 볼록성 = (W₁ × C₁) + (W₂ × C₂) + ... + (Wn × Cn)
  • W: 포트폴리오 내 해당 채권의 가치 비중
  • D: 해당 채권의 듀레이션
  • C: 해당 채권의 볼록성

포트폴리오 듀레이션의 한계

이 가중평균 방식은 한 가지 중요한 가정을 전제로 합니다: 수익률 곡선이 평행하게 이동(Parallel Shift)한다는 것입니다. 즉, 포트폴리오 내 모든 만기의 채권들의 YTM이 동일한 폭으로 변동해야 한다는 의미입니다.

하지만 실제 시장에서는 수익률 곡선이 평행하게 움직이기보다는, 장기 금리와 단기 금리가 서로 다르게 움직이며 곡선의 형태 자체가 변하는(non-parallel shift) 경우가 더 많습니다. 따라서 포트폴리오 듀레이션은 수익률 곡선의 평행 이동 리스크는 잘 측정하지만, 곡선 형태 변화에 따른 리스크는 제대로 측정하지 못하는 한계를 가집니다.

핵심 용어 정리

• 볼록성 (Convexity): 채권의 가격-수익률 곡선의 휘어진 정도를 나타내는 지표. 듀레이션의 예측 오차를 보정해 줌.
• 볼록성 조정 (Convexity Adjustment): 듀레이션만으로 가격 변동을 예측할 때 발생하는 오차를 줄이기 위한 보정값.
• 포트폴리오 듀레이션 (Portfolio Duration): 포트폴리오를 구성하는 개별 채권들의 듀레이션을 가치 비중으로 가중평균한 값.
• 평행 이동 (Parallel Shift): 수익률 곡선 상의 모든 만기의 금리가 동일한 폭으로 상승하거나 하락하는 움직임.

마치며

듀레이션이 채권의 금리 리스크를 측정하는 1차원적 지표라면, 볼록성은 이를 보완하는 2차원적 지표입니다. 볼록성이 클수록 투자자에게 유리하기 때문에, 다른 조건이 같다면 볼록성이 더 큰 채권을 선택하는 것이 합리적입니다. 포트폴리오 차원에서는 개별 채권의 듀레이션과 볼록성을 가중평균하여 포트폴리오 전체의 금리 민감도를 측정할 수 있습니다. 다만, 이 방법은 수익률 곡선이 평행 이동한다는 가정에 기반한다는 한계를 명확히 인지해야 합니다.

다음 포스트에서는 'Reading 61: 곡선 기반 및 경험적 채권 리스크 측정'에 대해 알아보겠습니다.