CFA Level 1 정복기 (4): 불확실성 속에서 최적의 답 찾기, 확률의 세계

CFA Level 1 정복기 (4): 불확실성 속에서 최적의 답 찾기, 확률의 세계

투자의 세계는 본질적으로 불확실성과의 싸움입니다. 미래의 주가, 기업의 실적, 경제 상황 등 무엇 하나 확실한 것이 없죠. 그렇다면 우리는 이 불확실성 앞에서 속수무책으로 있어야만 할까요? CFA Level 1의 계량분석(Quantitative Methods) 과목에서 '확률론'을 깊이 있게 다루는 이유가 바로 여기에 있습니다. 확률은 안개처럼 불분명한 미래를 '계량화'하고, 이를 바탕으로 합리적인 의사결정을 내릴 수 있는 강력한 기준을 제공합니다.

1. 확률 모델과 기대값: 투자의 기대 수익률 계산하기

먼저 불확실한 미래를 구조화하는 작업이 필요합니다. '확률 모델'은 특정 사건에 대해 발생 가능한 모든 시나리오와 각 시나리오의 발생 확률을 체계적으로 정리한 것입니다. 예를 들어, '내년 경제가 호황일 확률은 60%, 불황일 확률은 40%'와 같이 미래를 몇 가지 시나리오로 나누고 확률을 부여하는 것이죠.

이렇게 모델이 만들어지면, 우리는 투자의 '기대값(Expected Value)'을 계산할 수 있습니다. 기대값은 각 시나리오에서 예상되는 결과값(예: 수익률)에 해당 시나리오가 발생할 확률을 곱하여 모두 더한 값입니다. 즉, 이 투자를 무한히 반복했을 때 평균적으로 기대할 수 있는 수익률을 의미합니다.

> 기대값 E(X) = Σ [ P(xᵢ) * xᵢ ]

기대값이 높을수록 투자자에게 더 매력적인 투자안으로 평가될 수 있지만, 이것만으로 투자를 결정해서는 안 됩니다. 바로 '위험'을 고려해야 하기 때문이죠.

2. 분산과 표준편차: 투자의 위험 정량화하기

'투자의 위험은 변동성이다'라는 말을 들어보셨을 겁니다. 분산(Variance)과 표준편차(Standard Deviation)는 수익률이 기대값으로부터 평균적으로 얼마나 떨어져 있는지를 측정하는 '위험'의 핵심 지표입니다.

> 분산 Var(X) = Σ [ P(xᵢ) * (xᵢ - E(X))² ]
> 표준편차 σ(X) = √Var(X)

표준편차가 크다는 것은 수익률이 기대값을 중심으로 넓게 흩어져 있다는 의미이며, 이는 곧 미래 수익률의 예측이 어렵고 투자의 위험이 높다는 것을 뜻합니다. 따라서 투자자는 기대수익률과 표준편차를 함께 고려하여 '위험 대비 수익'이 높은 투자를 선택해야 합니다.

3. 조건부 기대값과 베이즈 정리: 새로운 정보로 나의 관점 업데이트하기

시장은 살아있는 생물처럼 끊임없이 새로운 정보를 쏟아냅니다. 성공적인 투자자는 이 정보를 자신의 투자 결정에 얼마나 잘 반영하느냐에 달려있습니다.

- 조건부 기대값 (Conditional Expectations): '어떤 새로운 정보가 주어졌다'는 조건 하에서 기대값을 다시 계산하는 것입니다. 예를 들어, '중앙은행이 금리를 인상했다'는 뉴스가 나왔을 때, 채권 포트폴리오의 기대수익률은 어떻게 변할까요? 이처럼 새로운 정보가 나의 기대를 어떻게 바꾸는지 분석하는 것이 조건부 기대값의 핵심입니다.

- 베이즈 정리 (Bayes' Formula): 여기서 한 걸음 더 나아가, 새로운 정보를 바탕으로 기존의 믿음(확률) 자체를 수정하는 통계적 도구가 바로 베이즈 정리입니다. 사전 확률(Prior Probability)에 새로운 정보의 가능성을 결합하여, 더 정교해진 사후 확률(Posterior Probability)을 도출하는 과정입니다. 이를 통해 투자자는 자신의 예측을 끊임없이 정교하게 다듬어 나갈 수 있습니다.

 

마치며

결론적으로, 확률론은 단순한 수학 이론이 아니라 불확실한 금융 시장을 헤쳐나가는 투자자의 나침반과도 같습니다. 기대값으로 가야 할 방향을 잡고, 표준편차로 길의 험난함을 측정하며, 베이즈 정리로 새로운 정보를 지도에 계속 업데이트하는 것. 이것이 바로 데이터 기반의 합리적 투자 결정 과정의 본질입니다.