CFA Level 1 정복기 (5): 분산투자의 마법, 포트폴리오 수학

'계란을 한 바구니에 담지 말라.' 투자를 해본 사람이라면 누구나 들어봤을 이 격언은 포트폴리오 이론의 핵심을 정확히 꿰뚫고 있습니다. 여러 자산에 나누어 투자함으로써 위험을 줄이는 분산투자의 효과, 과연 어떻게 수학적으로 증명될까요? Reading 5 '포트폴리오 수학(Portfolio Mathematics)'에서는 그 마법 같은 원리를 숫자로 명쾌하게 풀어냅니다.

 1. 포트폴리오의 기대수익률: 간단한 가중평균

포트폴리오의 기대수익률을 계산하는 것은 매우 직관적입니다. 포트폴리오를 구성하는 개별 자산들의 기대수익률을 각 자산의 투자 비중으로 가중 평균하면 됩니다.

> E(Rp) = w₁E(R₁) + w₂E(R₂) + ... + wₙE(Rₙ)

예를 들어, 기대수익률 10%인 자산 A에 60%, 기대수익률 5%인 자산 B에 40%를 투자했다면, 포트폴리오의 기대수익률은 (0.6 * 10%) + (0.4 * 5%) = 8%가 됩니다. 하지만 포트폴리오의 '위험'은 이렇게 간단하게 계산되지 않으며, 바로 이 지점에서 분산투자의 마법이 시작됩니다.

 2. 포트폴리오의 위험: 공분산과 상관관계의 중요성

포트폴리오의 위험(분산)이 마법 같은 이유는 개별 자산의 위험을 단순히 가중 평균한 값보다 항상 작거나 같기 때문입니다. 이 마법의 열쇠는 바로 자산들이 서로 어떻게 움직이는지를 나타내는 '공분산(Covariance)'과 '상관계수(Correlation)'입니다.

- 공분산 (Covariance): 두 자산의 수익률이 같은 방향(+), 혹은 다른 방향(-)으로 움직이는 경향을 측정하는 지표입니다. 하지만 값의 범위가 정해져 있지 않아 해석이 다소 어렵습니다.
- 상관계수 (Correlation): 공분산을 -1에서 +1 사이의 값으로 표준화하여 관계의 방향과 '강도'를 명확하게 보여줍니다.
  - +1: 두 자산이 완벽하게 같은 방향으로 움직입니다. (분산 효과 없음)
  - -1: 두 자산이 완벽하게 반대 방향으로 움직입니다. (분산 효과 최대)
  - 0: 두 자산이 서로 아무런 관계없이 독립적으로 움직입니다.

상관계수가 +1만 아니라면, 즉 두 자산이 완벽하게 똑같이 움직이지만 않는다면, 두 자산을 섞는 것만으로도 포트폴리오의 전체 위험은 줄어듭니다. 특히 상관관계가 낮거나 마이너스(-)인 자산을 편입할 때 분산 효과는 극대화됩니다. 이것이 바로 현대 포트폴리오 이론(MPT)의 출발점입니다.

 3. 로이의 안전제일기준 (Roy's Safety-First Criterion): 다운사이드 리스크 관리

최적 포트폴리오를 선택하는 기준은 다양합니다. 그중 '로이의 안전제일기준'은 특히 위험 회피적인 투자자에게 유용한 관점을 제공합니다. 이 기준은 포트폴리오의 수익률이 투자자가 설정한 '최소 허용 수익률(Threshold Level)' 이하로 떨어질 확률, 즉 부족위험(Shortfall Risk)을 최소화하는 것을 목표로 합니다.

> 안전제일비율(SFRatio) = [E(Rp) - Rₗ] / σp

이 비율(SFRatio)이 가장 큰 포트폴리오를 선택하는 것은, 결국 하방 위험(Downside Risk)을 가장 효과적으로 관리하는 포트폴리오를 선택한다는 의미입니다. 단순히 높은 수익률만 좇는 것이 아니라, '최악의 경우'를 방어하는 것을 최우선으로 생각하는 현명한 투자 전략이라고 할 수 있습니다.

 핵심 용어 정리

영어 한글

영어	한글
Portfolio Variance	포트폴리오 분산
Covariance	공분산
Correlation Coefficient	상관계수
Shortfall Risk	부족위험
Roy's Safety-First Criterion	로이의 안전제일기준
Threshold Level	최소허용수익률

마치며

이 글에서는 CFA Level 1의 Reading 5를 바탕으로 분산투자의 수학적 원리를 살펴보았습니다. 포트폴리오의 기대수익률은 개별 자산 수익률의 가중평균이지만, 포트폴리오의 위험은 자산 간의 상관계수 덕분에 그보다 낮아진다는 점이 핵심입니다. 상관관계가 낮을수록 위험 감소 효과는 커집니다. 또한, 로이의 안전제일기준을 통해 단순히 수익률만 보는 것이 아니라 하방 위험을 관리하는 최적의 포트폴리오를 선택하는 방법을 이해했습니다. 이는 현대 포트폴리오 이론의 근간을 이루는 중요한 개념입니다.