CFA Level 1 - Reading 77: 이항 모델을 이용한 파생상품 가치 평가

옵션의 가치는 어떻게 계산할 수 있을까요? 이번 포스트에서는 옵션 가격 결정 모델의 가장 기본이 되는 이항 모델(Binomial Model)의 원리에 대해 알아보겠습니다. 이항 모델은 미래에 발생할 수 있는 경우의 수를 두 가지(상승 또는 하락)로 단순화하여 옵션의 가치를 역으로 추적하는 방법입니다.

이항 모델의 기본 원리: 헤지 포트폴리오

이항 모델의 핵심 아이디어는 무위험 헤지 포트폴리오(Riskless Hedge Portfolio)를 구성하는 것입니다. 즉, 기초자산과 옵션을 특정 비율로 조합하여, 미래에 기초자산 가격이 상승하든 하락하든 그 가치가 항상 동일하게 유지되는 포트폴리오를 만드는 것입니다.

1. 포트폴리오 구성: 기초자산(주식) h주를 매수하고, 콜옵션 1개를 매도합니다.
2. 헤지 비율(h) 계산: 미래의 두 가지 경우(상승 시, 하락 시)에 포트폴리오의 가치가 동일해지는 h값을 찾습니다.
   • h = (상승 시 옵션가치 - 하락 시 옵션가치) / (상승 시 주가 - 하락 시 주가)
3. 미래가치 계산: 헤지 비율(h)을 적용하면, 이 포트폴리오의 미래가치는 주가 변동과 상관없이 확정적인 단일 값으로 결정됩니다.
4. 현재가치 계산: 미래가치가 확정되었으므로, 이 포트폴리오는 무위험 자산과 같습니다. 따라서 미래가치를 무위험 이자율(Risk-free Rate)로 할인하여 포트폴리오의 현재가치를 구합니다.
5. 옵션가치 계산: 포트폴리오의 현재가치 = (h × 현재 주가) - 현재 콜옵션 가격 이라는 식을 이용하여, 역으로 현재 콜옵션의 가치를 계산해낼 수 있습니다.

이 과정의 핵심은 포트폴리오의 미래가치를 확정적인 값으로 만들어, 주관적인 상승/하락 확률 대신 객관적인 무위험 이자율을 할인율로 사용할 수 있게 한다는 점입니다.

리스크 중립 가치평가 (Risk-Neutral Valuation)

이항 모델을 적용하는 또 다른 접근법은 리스크 중립 가치평가입니다. 이는 실제 세계의 투자자들이 위험 회피적이라는 가정을 잠시 접어두고, 모든 투자자가 리스크 중립적(Risk-Neutral)이라고 가정하는 가상의 세계를 이용하는 방법입니다.

리스크 중립적인 세계에서는 모든 자산의 기대수익률이 무위험 이자율과 같습니다. 이 원리를 이용하여, 우리는 기초자산의 기대수익률이 무위험 이자율이 되도록 만들어주는 가상의 확률, 즉 리스크 중립 확률(Risk-Neutral Probability)을 계산할 수 있습니다.

옵션 가치평가 과정은 다음과 같습니다.

1. 리스크 중립 확률(π) 계산: 기초자산의 기대수익률이 무위험 이자율과 같아지는 상승 확률(π)과 하락 확률(1-π)을 구합니다.
2. 옵션의 미래 기대가치 계산: 상승 시 옵션 가치와 하락 시 옵션 가치에 각각의 리스크 중립 확률을 곱하여 가중평균합니다.
3. 현재가치 계산: 옵션의 미래 기대가치를 무위험 이자율로 할인하여 현재 옵션의 가치를 구합니다.

결과적으로 헤지 포트폴리오를 이용한 방법과 리스크 중립 가치평가 방법은 동일한 옵션 가격을 도출합니다. 두 방법 모두 무차익거래 원리에 기반하고 있기 때문입니다.

핵심 용어 정리

• 이항 모델 (Binomial Model): 기초자산의 가격 변동 경로를 상승과 하락, 두 가지 경우로 단순화하여 옵션의 가치를 평가하는 모델.
• 헤지 비율 (Hedge Ratio / Delta): 무위험 포트폴리오를 구성하기 위해 매도한 옵션 1단위당 매수해야 하는 기초자산의 수량.
• 리스크 중립 가치평가 (Risk-Neutral Valuation): 모든 투자자가 리스크 중립적이라고 가정하는 가상의 세계를 이용하여, 자산의 기대수익률을 무위험 이자율로 할인하는 평가 방식.
• 리스크 중립 확률 (Risk-Neutral Probability): 리스크 중립 세계에서 자산의 기대수익률이 무위험 이자율과 같아지도록 만드는 가상의 확률.

마치며

이항 모델은 복잡해 보이는 옵션의 가치를 '복제'와 '무차익거래'라는 단순하고 강력한 논리로 풀어내는 방법을 보여줍니다. 미래 주가가 오르거나 내리는 두 가지 경우만 가정하는 단순한 모델이지만, 이 기간을 매우 짧게 쪼개어 수백, 수천 번 반복하면 우리가 잘 아는 블랙-숄즈-머튼 옵션 가격 결정 모형에 근접하게 됩니다. 이항 모델의 핵심은 실제 상승/하락 확률이 아닌, 무위험 이자율을 통해 모든 것을 설명한다는 점이며, 이는 현대 금융공학의 근간을 이루는 중요한 아이디어입니다.

이것으로 파생상품 파트의 모든 포스트를 마칩니다. 수고하셨습니다.