CFA Level 1 - Reading 76: 풋-콜 패리티를 이용한 옵션 복제

옵션 가격은 어떻게 결정될까요? 블랙-숄즈 모델과 같은 복잡한 공식을 사용하기도 하지만, 그 근간에는 파생상품 가격 결정의 대원칙인 무차익거래 원리가 자리 잡고 있습니다. 이번 포스트에서는 이 원리를 이용하여 콜옵션과 풋옵션, 그리고 기초자산과 무위험자산 간의 중요한 균형 관계식인 풋-콜 패리티(Put-Call Parity)에 대해 알아보겠습니다.

풋-콜 패리티 (Put-Call Parity)란?

풋-콜 패리티는 만기와 행사가격이 동일한 유럽형 콜옵션과 풋옵션의 가격 사이에 반드시 성립해야 하는 관계식입니다. 이 관계가 성립하지 않으면 무위험 차익거래 기회가 발생합니다.

이 관계를 이해하기 위해 두 가지 가상의 포트폴리오를 생각해보겠습니다.

1. 신용 콜 (Fiduciary Call): 콜옵션 1개 매수 + 행사가격(X)과 동일한 액면가의 무위험 채권 1개 매수

   • 만기 시 주가가 행사가격(X)보다 높으면: (주가 - X) + X = 주가
   • 만기 시 주가가 행사가격(X)보다 낮으면: 0 + X = X

2. 방어적 풋 (Protective Put): 기초자산(주식) 1주 매수 + 풋옵션 1개 매수

   • 만기 시 주가가 행사가격(X)보다 높으면: 주가 + 0 = 주가
   • 만기 시 주가가 행사가격(X)보다 낮으면: 주가 + (X - 주가) = X

두 포트폴리오의 만기 시점 가치(Payoff)가 모든 경우에 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 무차익 원리에 의해, 현재 시점에서 두 포트폴리오의 가치 또한 반드시 같아야 합니다.

c + PV(X) = S + p

이것이 바로 풋-콜 패리티 공식입니다.

• c: 콜옵션 가격
• PV(X): 행사가격 X의 현재가치 (X / (1+Rf)ᵀ)
• S: 기초자산의 현재 가격
• p: 풋옵션 가격

풋-콜 패리티의 활용: 합성 자산 (Synthetic Asset)

풋-콜 패리티 공식은 네 가지 자산(콜, 풋, 주식, 채권) 중 세 가지의 가격을 알면 나머지 하나의 이론적인 적정 가격을 계산할 수 있음을 의미합니다. 더 나아가, 세 가지 자산을 조합하여 나머지 하나의 자산과 동일한 손익 구조를 갖는 합성 자산(Synthetic Asset)을 만들어낼 수 있습니다.

• 합성 주식 (Synthetic Stock): S = c - p + PV(X)

  • 콜옵션 매수 + 풋옵션 매도 + 무위험 채권 매수 = 주식 매수와 동일한 효과

• 합성 콜옵션 (Synthetic Call): c = S + p - PV(X)

  • 주식 매수 + 풋옵션 매수 + 무위험 채권 매도(차입) = 콜옵션 매수와 동일한 효과

이러한 복제 전략은 시장에 원하는 상품이 없거나, 거래 비용이 더 저렴할 때, 또는 복잡한 투자 전략을 구사할 때 널리 활용됩니다.

풋-콜-선도 패리티 (Put-Call-Forward Parity)

풋-콜 패리티는 기초자산 현물 대신 선도(Forward) 계약을 이용해서도 구성할 수 있습니다. 기초자산 현물(S) 대신, 동일한 만기의 선도 계약의 현재가치(F₀ / (1+Rf)ᵀ)를 공식에 대입하면 됩니다.

F₀ / (1+Rf)ᵀ + p = c + X / (1+Rf)ᵀ

이는 옵션과 선도 계약 간의 가격 관계를 설명하는 중요한 공식입니다.

핵심 용어 정리

• 풋-콜 패리티 (Put-Call Parity): 만기와 행사가격이 같은 유럽형 콜옵션과 풋옵션 가격 간의 균형 관계식.
• 신용 콜 (Fiduciary Call): 콜옵션과 무위험 채권의 조합.
• 방어적 풋 (Protective Put): 기초자산과 풋옵션의 조합.
• 합성 자산 (Synthetic Asset): 다른 자산들을 조합하여 특정 자산과 동일한 손익 구조를 갖도록 복제한 포트폴리오.

마치며

풋-콜 패리티는 파생상품 시장의 논리적 일관성을 보여주는 아름다운 공식입니다. 이는 옵션, 주식, 채권이라는 서로 다른 자산들이 무차익 원리라는 보이지 않는 끈으로 연결되어 있음을 의미합니다. 이 관계를 이해함으로써 우리는 특정 파생상품의 적정 가격을 평가하고, 시장의 비효율성을 찾아내거나, 원하는 손익 구조를 인위적으로 만들어내는 등 정교한 금융 전략을 구사할 수 있게 됩니다.

다음 포스트에서는 'Reading 77: 이항 모델을 이용한 파생상품 가치 평가'에 대해 알아보겠습니다.